الجذور التكعيبية للواحد الصحيح
ــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــ
– ب + /\ ب2 – 4 أ حـ – ب – /\ ب2 – 4 أ حـ
س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ , س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
2 أ 2 أ
فإذا كان لدينا المعادلة ع3 = 1 فيكون الحل كالآتي: ع3 – 1 = 0 ، بالتحليل كفرق بين مكعبين ( ع – 1)( ع2+ ع + 1 ) = 0
ومنها: ع = 1 أو ع2+ ع + 1 = 0 نستخدم القانون أعلاه حيث أ = 1 ، ب = 1 ، حـ = 1
ــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــ
– 1 + /\1 – 4×1×1 – 1 – /\1 – 4×1×1
ع = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ , ع = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
2 × 1 2 × 1
ــــــــ ــــــــ
– 1 + /\–3 – 1 – /\–3
ع = ــــــــــــــــــــــــــــــ , ع = ـــــــــــــــــــــــــــ
2 2
ــــ ــــ
– 1 + /\3 ت – 1 – /\3
ع = ــــــــــــــــــــــــــــ = ω , ع = ــــــــــــــــــــــ = ωـ2 أو العكس بأن نضع ωـ2 للجذر الأول و ω للجذر الثاني
2 2
وعليه تكون الجذور التكعيبية للواحد الصحيح هي: 1 و ω و ωـ2 الأول حقيقي والآخران تخيليان.
وتتصف بالخواص الآتية حيث يسهل برهنتها بالتعويض المباشر
(1) مجموعها = صفر 1 + ω + ωـ2= صفر ومنها أي جذرين يساوي سالب الثالث ، أيضاً: ل + لω + لωـ2= صفر
(2) حصل ضربها = 1 1 × ωـ2 × ωـ= 1 أي ωـ3= 1
هذه الخاصية تقودنا إلى أن: ωـك = ωـل حيث ل باقي قسمة ك على 3 فمثلاً ωـ26= ωـ2
ــــ ــــ
(3) الفرق بين الجذرين التخيليين يساوي ± /\3 ت أي أن: ± ( ωـ2– ω) = ـ± /\3 ت
(4) مربع أحد الجذرين التخيليين يساوي الآخر أي: ( ωـ2)2 = ωـ4= ω والآخر واضح
1 1
(5) ـــــــ = ωـ2 ، ـــــــــ = ω لأن ωـ3= 1 التي تحل في البسط بدل 
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق